从零开始的软渲染生活-第四话

（又过了一个多月。。）

前情提要：上一话总算是正确地把贴图之后的模型显示出来了，那么这一回要做的就是一些矩阵计算的东西了，具体的说就是使用view matrix调节相机视角，并实现perspective project，就像这样：
效果图

（加了透视投影之后，近大远小）
这一部分涉及到比较多的数学推导，原repo里解释得很细致，这里我就不再卖弄了。

https://github.com/ssloy/tinyrenderer/wiki/Lesson-4-Perspective-projection

github.com
需要了解一些的前置知识是线性代数，至少要能看懂矩阵计算，至于四元数的概念则比较抽象，如果理解了四元数这一部分掌握起来会比较快。各种缩放、旋转、平移操作如何对应到变换矩阵中，可以参照一些入门的图形学书籍。

把概念原理性的东西吃透之后，代码上的东西倒不是特别难了

首先要引入的一个新东西是Matrix这种数据类型，也就是二维矩阵，并定义好其各种运算操作。

class Matrix {
    std::vector<std::vector<float> > m;
    int rows, cols;
public:
    Matrix(int r=DEFAULT_ALLOC, int c=DEFAULT_ALLOC);
    inline int nrows();
    inline int ncols();

    static Matrix identity(int dimensions);
    std::vector<float>& operator[](const int i);
    Matrix operator*(const Matrix& a);
    Matrix transpose();
    Matrix inverse();

    friend std::ostream& operator<<(std::ostream& s, Matrix& m);
};

有了matrix，后面就照着公式算就行了。

其实就是图形学中的MVP矩阵变换，只不过这里只涉及P(投影)和W(视口)（注意矩阵乘法的右优先）

Matrix viewport(int x, int y, int w, int h) {
    Matrix m = Matrix::identity(4);
    m[0][3] = x+w/2.f;
    m[1][3] = y+h/2.f;
    m[2][3] = depth/2.f;

    m[0][0] = w/2.f;
    m[1][1] = h/2.f;
    m[2][2] = depth/2.f;
    return m;
}

Matrix Projection = Matrix::identity(4);
Matrix ViewPort   = viewport(width/8, height/8, width*3/4, height*3/4);

Projection[3][2] = -1.f/camera.z;

//...
//对于模型上的每个顶点，都执行相同的变换操作        
Vec3f p0_proj =  m2v(ViewPort*Projection*v2m(p0));
Vec3f p1_proj =  m2v(ViewPort*Projection*v2m(p1));
Vec3f p2_proj =  m2v(ViewPort*Projection*v2m(p2));

//...

经过这一波变换之后，我们的模型已经投影到了画布上了，所以不需要再像之前一样对顶点做坐标映射。

既然到了变换矩阵这一块，那么接着往下就是MVPW里的M（Model）和V（View）

ModelView这一组合用更常见的说法就是模视变换矩阵，控制着相机以怎样的角度和方向去观察模型，当然，在我们的例子中，相机是虚拟的，我们所要做的是通过对模型进行旋转和平移，反过来体现相机视角的变化。（旋转模型和旋转相机视角其实就是互为一对逆变换的关系）
效果图

现在假设我们要实现相机在e点的效果，那么实际操作并不是移动相机而是求解原始模型的坐标系（x,y,z）到（x’,y’,z’）的一个反向变换，其中z’指向e点（有点绕，你细品）（关于相机理论，还是需要去图形学里的书里面熟悉相关概念，即相机的三个指标向量eye，at，up）

这一操作的变换矩阵的求解其实非常方便，我们已知的是z’其实就是ce向量，u是我们事先指定的相机垂直方向up，由z’叉乘u可以求得x’，进而再由z’叉乘x’求得y’。

那么代码也显而易见了：

void lookat(Vec3f eye, Vec3f center, Vec3f up) {
    Vec3f z = (eye-center).normalize();
    Vec3f x = cross(up,z).normalize();
    Vec3f y = cross(z,x).normalize();
    Matrix Minv = Matrix::identity();
    Matrix Tr   = Matrix::identity();
    for (int i=0; i<3; i++) {
        Minv[0][i] = x[i];
        Minv[1][i] = y[i];
        Minv[2][i] = z[i];
        Tr[i][3] = -center[i];
    }
    ModelView = Minv*Tr;
}

当然，这里与寻常的变换矩阵不同是因为这里对应的是一个反向移动。

最后，把之前的变换操作补充完整

1	Vec3f p0_proj = m2v(ViewPortProjectionModelView*v2m(p0));

就可以得到这样的结果了：

效果图